Vi er i 2. videregående på Oslo By Steinerskole. Vi skal have periodeundervisning med hovedtemaet differentialregning, som er en vigtig disciplin med bred anvendelse indenfor både naturfag og samfundsfag. Det, som er det centrale i differentialregning er, at man lærer at regne med størrelser, som er uendeligt små. Disse størrelser er altså ikke en tusindedel eller en milliontedel eller en milliardtedel af noget. De er virkelig uendeligt små.
Fra første time kan man mærke, at temaet sprænger de erfarninger, vi har fra vores eget liv. Selvom vi trækker vejret mange, mange gange, så er det ikke uendeligt mange gange. Det er måske 500 milioner gange. For at kunne lære os at regne med differentialregningens uendeligt små størrelser, må vi altså formå at udvide vores eksakte tænkning til også at omfatte det uendelige.
Det er ikke vanskeligt at konstruere et eksempel, hvor vi kan starte vores undersøgelse. Lad os betragte summen 1/2+1/4+1/8. Vi har lært, hvordan man regner dette ud: Find fællesnævner, forlæng brøkerne og læg sammen. Resultatet bliver 4/8+2/8+1/8 = 7/8. Vi ser, at der er en struktur i summen. Vi kommer fra 1/2 til 1/4 ved at gange med 2 i nævneren i første brøk. Videre kommer vi fra 1/4 til 1/8 ved igen at gange nævneren med 2. Fordi vi har forstået, hvordan rækken er opbygget, kan vi fortsætte den: Vi kan betragte og regne ud, hvad dette bliver 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64. Igen finder vi fællesnævneren, og resultatet af summen bliver 63/64. Vi kunne fortsætte rækken endnu længere, hvis vi ville det.
Fra ”så længe vi orker” til ”uendeligt længe”
Hvor længe kunne vi fortsætte rækken? Nogle elever siger ”så længe vi orker”, andre siger ”uendeligt længe”. Og så er vi i gang. Er ”så længe vi orker” det samme som ”uendeligt længe” ? Hvis vi nu fortsatte denne proces med et nyt led hvert sekund, indtil vi dør, er det da uendelig længe? Nej. Der ville godt nok opstå vældigt mange brøker, som skulle summeres, men det ville være endeligt mange. Giver det da overhovedet mening at snakke om gerne at ville vide, hvad resultatet bliver af summen, hvis vi forestiller os, at processen virkeligt aldrig stopper? Hvis vi summerer uendeligt mange tal, kan det da nogensinde blive et resultat? Og hvordan skal vi komme frem til resultatet? Hvis vi skal summere uendeligt mange brøker, hvordan skal vi da kunne finde en fællesnævner for dem alle? Det opdager vi hurtigt, at vi ikke kan. Hvordan skal vi da kunne summere brøkerne, hvis vi ikke kan finde en fællesnævner?
Det grafiske er til hjælp
Vi må finde på noget helt nyt og prøver at nærme os problemet grafisk: Vi tegner en cirkel og farvelægger halvdelen af den. Hertil skal lægges en fjerdedel. Grafisk gør vi dette ved at farvelægge halvdelen af den halve cirkel, som stadig er hvid. Nu er tre fjerdedele af cirklen farvelagt, og en fjerdedel er hvid. Når vi nu skal lægge en ottendedel til, skal vi altså farvelægge halvdelen af den hvide fjerdedel. Herefter er det kun en ottendedel, som ikke er farvelagt. Når vi nu skal lægge en sekstendedel til, gør vi det ved at farvelægge halvdelen af denne ottendedel. For hver ny brøk vi skal summere, må vi altså farvelægge halvdelen af det lille kagestykke, som vi har tilbage. Hvor ofte kan vi gøre det? Her møder vi samme begrænsning som før, for selv om vi kan gøre dette vældigt mange gange, så kan vi ikke gøre det uendeligt mange gange.
Bliver kagen spist op?
Alligevel giver vores grafiske fremstilling os anledning til at finde svar på vores spørgsmål om, hvad summen af de uendeligt mange brøker bliver. For vi ser, at uanset, hvor ofte vi gentager processen med at farvelægge halvdelen af det tilbageværende kagestykke, så vil vi aldrig komme til at farvelægge mere end hele cirklen. Vores uendelige sum kan altså ikke blive mere end 1. Kan den så blive mindre end 1? Nej, for hvis vi efter mange delinger stadig har et kagestykke igen, så kan vi bare dele det og farvelægge halvdelen. Så har vi ikke gentaget processen uendeligt mange gange. Sagt på en anden måde: Når vi har gentaget processen uendeligt mange gange, så er der ikke mere tilbage, som kan deles. Så er hele cirklen farvelagt. Vi ser altså, at vi nu har regnet ud, hvad resultatet af den uendelige sum 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 … bliver, nemlig 1.
At udvide sin tænkning
Vi er vant til, at vi kan summere et endeligt antal tal og sætte to streger under resultatet som en uomtvistelig sandhed. Med det demonstrerede eksempel har vi gjort en første erfaring med at opnå samme eksakthed i vores håndtering af uendelige processer, som vi hidtil kun har kendt fra endelige processer. Selv om uendelighed ikke er noget, som umiddelbart forekommer i vore endelige liv, kan vi lære os at håndtere uendelige processer, lige så eksakt som vi håndterer endelige processer. Denne udvidelse af tænkningen er nødvendig for at opleve, hvad differentialregning egentlig drejer sig om.
At rykke sine grænser
For eleverne blev perioden mere end bare at lære at differentiere. Den gav dem anledning til at rykke grænserne for, hvad de kan tænke. En elev udtrykker det således: ”Før perioden havde jeg ikke tænkt noget særlig på, hvad uendelighed var. Det var slet og ret noget utænkeligt. Nu har jeg mere indblik i, hvordan man rent faktisk kan regne eksakt med det”. En anden elev: ”Uendelighed har altid fascineret mig og været noget diffust, overvældende og uhåndterligt. Nu ser jeg på uendelighed som noget fortsat fantastisk og ubegribeligt på nogle måder, men samtidig mere håndfast. Denne periode har vekslet mellem forståelse og accept og stor undring over, hvor sjov uendelighed er.” En tredje elev konkluderer: ”Før troede jeg, at universet er uendeligt stort. Nu tænker jeg at det måske bare er meget, meget stort og jeg forstår, at det er noget andet.”
Se elever ved Oslo By Steinerskole forklare summen af uendelige brøk rækker: https://www.youtube.com/watch?v=5HGOkFuPZAE
Figuren viser, hvordan vi summerer 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64. For hver ny brøk som summeres, farvelægger vi halvdelen af det grå område i cirklen.
